Geschwindigkeitsfilter für bewegte Ladungen

Strahlentherapie: Problem bei unterschiedlichen Protonengeschwindigkeiten

Abbildung 4: Energieabgabe von Protonen ans Wasser bei Geschwindigkeiten von 1,09·10⁸ m/s (1), 1,17·10⁸ m/s (2), 1,22·10⁸ m/s (3) und 1,32·10⁸ m/s (4). Quelle: figure 6 leicht verändert aus: Wayne D Newhauser and Rui Zhang: Fremdes Angebot: iopscience.iop.org/article/10.1088/0031-9155/60/8/R155/pdf (öffnet in neuem Tab) ( Fremdes Angebot: CC-BY 3. 0 (öffnet in neuem Tab))

Wie in Abbildung 4 am Beispiel der Energieabgabe von Protonen an Wasser zu erkennen ist, führt eine Geschwindigkeitserhöhung der Protonen zu einer deutlich größeren Eindringtiefe. Bei einer um nur etwa 7% vergrößerten Geschwindigkeit dringen die Protonen gleich etwa 5 cm tiefer ins Gewebe ein. Haben Protonen auch nur sehr kleine Geschwindigkeitsunterschiede, kann der Protonenstrahl in Gewebebereiche eindringen, die nicht mehr zum Tumor gehören und damit wird bisher gesundes Gewebe verletzt.

Eine möglichst genaue Eindringtiefe erfordert eine genau definierte Geschwindigkeit der Protonen.

Damit ergibt sich das physikalische Problem, dass die Geschwindigkeiten der geladenen Teilchen genau gefiltert werden müssen.

1. Bewegung von geladenen Teilchen im elektrischen Querfeld

Innerhalb eines Kondensator wird ein homogenes elektrisches Feld erzeugt. Ein einfach positiv geladenes Teilchen fliegt mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v₀→ in x-Richtung zwischen die geladenen Platten eines Kondensators.

Abb. 30: Ionen werden durch Kräfte im elektrischen Feld nach unten abgelenkt. Bildquelle: Dr. Rolf Piffer

Die Ionen werden nach den Erläuterungen in Kapitel Ablenkung von Ionen so abgelenkt, dass sie wie in Abbildung 30 gezeigt eine parabelförmige Bahn fliegen.

2. Bewegung von geladenen Teilchen im homogenen Magnetfeld

Die Ionen lassen sich aber auch ablenken, wenn kein elektrisches Feld - und damit keine "elektrische" Kraft - zwischen den Platten vorhanden ist. Das ist dann der Fall, wenn die Platten ungeladen sind.

Sie lassen sich durch Lorentzkräfte in einem Magnetfeld ablenken, wenn die magnetische FlussdichteB⇀ eine Komponente orthogonal zur Bewegungsrichtung besitzt. In der folgenden Abbildung ist das MagnetfeldB⇀ so gerichtet, dass es in die Zeichenebene hinein zeigt. Damit ergibt sich die blau gezeichnete Flugbahn der postiv geladenen Ionen.

Abb. 31: Ionen werden durch Lorentzkräfte im Magnetfeld abgelenkt. Bildquelle: Dr. Rolf Piffer

Das folgende Video zeigt die Änderung der Bahn von Elektronen (blau) im homogenen Magetfeld einer Helmholtzspule bei steigender Stromstärke durch die Spule.

Unbekannter Block

Videoquelle: Dr. Rolf Piffer

3. Kräftekompensation im Kondensatorraum

Fliegen die geladenen Teilchen von links in den Kondensatorraum, dann zeigen die KraftF⇀el durch das elektrische Feld und die LorentzkraftF⇀L in entgegengesetzte Richtungen. Die "elektrische" Kraft hängt nur von der elektrischen FeldstärkeE⇀ und der Ionenladung q ab:

Der Betrag der Lorentzkraft auf ein geladenes Teilchen lässt sich nach der Gleichung 5 im Kapitel zur Lorentzkraft beschreiben:

wobei α den Winkel zwischen der Geschwindigkeitv⇀ und der magnetischen FlussdichteB⇀ angibt. Nur wenn diese beiden Vektoren - wie im Fall Ionenbewegung durch den Kondensator - orthogonal zueinander stehen, wird die Lorentzkraft maximal.

Die Lorentzkraft hängt demnach von der Ionenladung, der magnetischen Flussdichte und der Teilchengeschwindigkeit ab. Der Einfachheit halber wird im Folgenden vorausgesetzt, dass die Vektoren der Flussdichte und der Geschwindigkeit orthogonal aufeinander liegen.

Bei geeigneter Wahl der elektrischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte kompensieren sich gerade beide Kräfte, so dass gilt:

Demnach sind die Beträge beider Kräfte gleich groß:

und daraus ergibt sich dann:

oder für die Geschwindigkeit:

Wenn man die elektrische Feldstärke noch durch die am Kondensator mit dem Plattenabstand d anliegende Spannung U ausdrückt:

und diese Gleichung in (1) einsetzt ergibt sich:

Nur wenn die Ionen genau diese Geschwindigkeit haben, erfahren sie keine resultierende Kraft bei der Bewegung durch den Kondensatorraum. Nur bei dieser Geschwindigkeit werden die Ionen nicht abgelenkt und können den Kondensator gemäß Abbildung 33 geradlinig passieren.

Abb. 33: Ionen durchqueren den Kondensator unabgelenkt. Bildquelle: Dr. Rolf Piffer

Durch die beiden Blenden L

₁

und L

₂

in Abbildung 33 wird verhindert, dass Ionen mit anderen Geschwindigkeiten den Kondensatorraum verlassen können. Deshalb nennt man diese Anordnung auch Geschwindigkeitsfilter oder "Wienfilter".

Diese Zusammenhänge werden auf der Seite der Physikdidaktik der LMU München zum Fremdes Angebot: Wienfilter (öffnet in neuem Tab) noch einmal sehr anschaulich gemacht.

Abbildung 34: Kräfte auf Ionen durch Lorentzkräfte und elektrische Kräfte im "Wienfilter". Quelle: Didaktik der Physik, LMU München, Fremdes Angebot: https://www.didaktik.physik.uni-muenchen.de/elektronenbahnen/b-feld/anwendung/geschwindigkeitsfilter.php (öffnet in neuem Tab) ( Fremdes Angebot: CC BY-NC-SA 3.0 DE (öffnet in neuem Tab)) Stefan Richtberg

4. Interaktive Simulation zur Bewegung von Ionen im Wienfilter

Diese Zusammenhänge kann man gut verstehen, wenn man die interaktive Simulation zum Wienfilter von der Fremdes Angebot: Leifi-Seite (öffnet in neuem Tab) verwendet.

Abbildung 35: Durch anklicken der Abbildung die Simulation zur Bewegung in gekreuzten Feldern starten. Quelle: Thomas Unkelbach für LEIFI-Physik Joachim Herz Stiftung

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Nützliche Seiten:

Die Eindringtiefe ist steuerbar: Eindringtiefe von Ionen
Zum Kapitel zur Lorentzkraft
Die Bewegung von Elektronen im homogenen Magnetfeld: Fremdes Angebot: Fadenstrahlrohr (öffnet in neuem Tab)
Eine Simulation zum Wienfilter finden Sie auf der folgenden Seite: Fremdes Angebot: WIEN-Filter (öffnet in neuem Tab)
Alle physikalischen Zusammenhänge zum Wienfilter finden Sie noch einmal auf der Seite: Fremdes Angebot: Geschwindigkeitsfilter nach WIEN (öffnet in neuem Tab)
Überraschende Strahlverläufe durch schrägen Eintritt

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