07-pma-ab-jeans-kriterium-herleitung.html

Herleitung

Modell: Teilchen der Masse m bewegt sich auf einer Kreisbahn um eine Masse M.

F_Z=F_G

Kollaps wenn:

F_Z<F_G

also:

mit

folgt:

( * )

Nimmt man die Gaswolke (Masse M, Radius R) als eine Gaskugel konstanter Dichte an, so ist die potentielle Energie der gesamte Wolke:

(Herleitung hierfür s. z.B.:

 Fremdes Angebot: https://de.wikipedia.org/wiki/Bindungsenergie#Rechenbeispiel (öffnet in neuem Tab)

)

Für die kinetische Energie der Teilchen gilt:

k: Boltzmann-Konstante (k ≈ 1,38 ∙ 10

^-23

J/K)

Für N Teilchen der Masse m (in der Regel Wasserstoffmoleküle

) ist:

E

_pot

und

E

_kin

eingesetzt in ( * ):

Aufgelöst nach R (Jeans-Radius):

Für die Masse einer homogenen Kugel gilt:

Setzt man den Jeans-Radius ein folgt:

Auflösen nach

M

(Jeans-Masse):

Damit ist

M

_J

etwa:

(Jeans-Kriterium)