Bestimmtheitsmaß
In den folgenden drei Bildern symbolisieren die roten, ausgefüllten Flächen die Summe der quadratischen Abweichungen von der Ausgleichsgeraden (Regressionsgeraden, Trendlinie). Für diese Summe gilt:
Die grünen, schraffierten Flächen stellen zum Vergleich die Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert dar, d. h. es ist
Bild 1: Mäßige Korrelation der Messwerte mit der
Ausgleichsgeraden g: y = m·x + b
Um dies zu verstehen, betrachten wir die Extremfälle von Bild 2 und Bild 3.
In Bild 2 (vollständige Korrelation) liegen die Messwerte exakt auf der (roten) Ausgleichsgeraden. Deshalb ist A Regr = 0 und somit auch
A Regr / A Mittel = 0. Mit anderen Worten: Für die Bestimmtheit folgt
r 2 = 1 – A Regr / A Mittel = 1 – 0 = 1 ,
also eine 100%ige Korrelation.
Fremdes Angebot: Bild 2: Absolute Übereinstimmung der Messwerte mit der Ausgleichsgeraden (öffnet in neuem Tab)
In Bild 3 (keine erkennbare Korrelation) sind die beiden Flächen A Regr und A Mittel gleich groß, d. h. es gilt A Regr / A Mittel = 1 und deshalb ist
r 2 = 1 – A Regr / A Mittel = 1 – 1 = 0
Bild 3: Messwerte ohne Korrelation
Zurück zu Bild 1: Hier liefert ein Flächenvergleich
A Regr / A Mittel = 0,5432, weshalb für r 2 folgt:
r 2 = 1 – A Regr / A Mittel = 1 – 0,5432 = 0,4568
Der Wert des Korrelationskoeffizienten r beträgt somit rund 68%.
