Näherungsformel von Moivre-Laplace

Betrachtet man die Binomialverteilungen für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen breiter und symmetrischer um den Erwartungswert .
Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses wird immer kleiner, da die Flächensumme  der Rechtecke immer die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ergibt.
Die Histogramme erhalten zunehmend Glockenform, wobei sich die (Symmetrie-)Achse an der Stelle immer mehr nach rechts verschiebt.

Um das Verhalten von für große Werte von n besser untersuchen zu können, verschiebt man die Schaubilder so, dass der Erwartungswert auf der 2. Koordinatenachse liegt und gleicht  somit die Verschiebung der (Symmetrie-) Achse aus. Jeder Wert X=k wird um Einheiten nach links verschoben.
Gleichzeitig streckt man die Rechteckshöhen,  die , mit dem Faktor und die ursprünglichen Rechtecksbreiten mit 1LE  mit dem Faktor . Damit gleicht man das Flacherwerden der Glockenform aus und hat gleichzeitig die Konstanz der Flächenmaßzahlen der Rechtecke (der Einzelwahrscheinlichkeiten) gewahrt.

Damit gilt:
Man erhält eine neu Zufallsvariable, ein standardisierte Zufallsvariable .

Für nimmt die standardisierte Zufallsvariable positive, für negative Werte    an.
Eine solche Verteilung heißt standardisierte Binomialverteilung :

De Moivre hat erkannt, dass die Histogramme bestimmter standardisierter Binomialverteilungen trotz unterschiedlicher Parameter n und p in guter Näherung einen fast identischen Verlauf zeigen. Diese Histogramme haben einen glockenförmigen Verlauf.
Laplace hat diese Überlegungen weitergeführt und erkannt, dass die Histogramme standardisierter Binomialverteilungen um so besser von glockenförmigen Graphen umrandet werden, je größer die Standardabweichung ist.( Faustregel:  Wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist)

Das Schaubild der  Funktion liefert die „Grenzkurve“  ,die Glockenkurve (als Grenzlage der Histogramme für )
Diese Funktion heißt Gauß-Funktion , ihr Schaubild heißt Gauß’sche Glockenkurve.
Diese Glockenkurve ist symmetrisch zur y-Achse und hat die x-Achse als Asymptote.
Moivre hat diese Glockenkurve für p=0,5 untersucht, Laplace zeigte, dass sich auch im Fall für große Werte von n dieselbe Grenzkurve ergibt.

Beispiel: Binomialverteilung mit n=60, p=0,5,

Der Flächeninhalt zwischen der Gauß-Kurve und der x-Achse entspricht  somit dem der Summe der Inhalte  aller Rechtecksflächen des Histogramms einer binomialverteilten Zufallsvariablen X ebenso wie die der dazugehörigen standardisierten Zufallsvariablen Z und hat der Wert 1:

Die Summenwahrscheinlichkeit kann dann näherungsweise durch den Inhalt der Teilfläche, die von der Gauss-Kurve und der x-Achse (bzw. z-Achse) im Intervall eingeschlossen wird, berechnet werden: