Näherungsweises Lösen einer Differenzialgleichung

Wir lösen eine Differenzialgleichung näherungsweise. Dazu lassen wir den Rechner schrittweise (t, I)-Wertepaare ausrechnen und in einer Tabelle und im Schaubild darstellen. Durch eine Näherung wird die Berechnung möglich. ¹

Beispiel: Einschaltvorgang bei der Spule1 ²

Differenzialgleichung für den Einschaltvorgang:

Übergang zur

Differenzengleichung

(Näherung für kleine Δt):

Auflösen nach ΔI und Erstellen eines Programmalgorithmus:

	Programmalgorithmus ³
ΔI = (U/L - R/L⋅I)⋅Δt	(U/L - R/L⋅I)⋅dt → dI
wegen ΔI = I _neu- I _altbzw. Δt = t _neu- t _alt
I _neu= I _alt+ ΔI	I + dI → I
t _neu= t _alt+ Δt	t + dt → t

Berechnung:

Variablen:	U = 9,0 V	R = 22 Ω	L = 17 mH
Startwerte:	t = 0 s	I = 0 A	Zeitschritt dt = 0,0001 s

Fülle folgende Tabelle aus:

Schritt	Zeit t = t + dt	Änderung dI von I dI = (U/L-R/LI)dt	Stromstärke I = I + dI
0
1
2
3

Fremdes Angebot: ¹ (öffnet in neuem Tab)Die Angabe einer geschlossenen Lösung in algebraischer Form ist oft möglich, benötigt aber Hochschulmathematik, die wir nicht zur Verfügung haben. Computeralgebrasysteme wie MAPLE oder MATHEMATICA können so etwas auch.

Fremdes Angebot: ² (öffnet in neuem Tab)Eine Spule mit der Induktivität L und dem Widerstand R wird zum Zeitpunkt t = 0 s an eine Quelle mit U angeschlossen.

Fremdes Angebot: ³ (öffnet in neuem Tab)Beim TI-83 dürfen Variablen nur einen Buchstaben haben. Deshalb bezeichnen wir dort die Stromstärkeänderung dI mit S und den Zeitschritt dt mit Z.

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Modellbildung mit dem TI-83 - Einschaltvorgang bei der Spule: Herunterladen [doc] [389 KB]

Modellbildungen Spule und Kondensator: Herunterladen [xls] [1,5 MB]

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Näherungsweises Lösen einer Differenzialgleichung

Beispiel: Einschaltvorgang bei der Spule1 2

Berechnung:

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Beispiel: Einschaltvorgang bei der Spule1 ²